Question

12．已知圆x²+y²=2和直线y=x+b．
（1）当b为何值时，直线与圆相交？
（2）当b为何值时，直线与圆相切？
（3）当b为何值时，直线与圆相离？

Answer 1

分析 求得圆的标准方程，求出圆心到直线的距离d，分别求得d=r、d＜r、d＞r时，b的值，可得直线与圆相切、相交、相离时，b的范围．

解答 解：圆x²+y²=2的圆心、半径r等于$\sqrt{2}$的圆，
求得圆心（0，0）到直线y=x+b的距离为d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$，
由d=r，可得$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，求得b=2，或 b=-2，即当b=2或b=-2时，直线和圆相切．
由d＜r，求得-2＜b＜2，此时，直线和圆相交．
由d＞r，求得b＜-2，或 b＞2，此时，直线和圆相离．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．