Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}中b₂=4，前n项和为S_n，且4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*）证明：(1+

1

bn

)

1

2

bn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（I）根据a_n=2a_n-1+n-2（n≥2），可得数列{a_n+n}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）利用4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），再写一式，两式相减可得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，同样再写一式，两式相减，可得{b_n}是等差数列，进而可得b_n=2n，由此可证结论．

解答：（I）解：∵a_n=2a_n-1+n-2（n≥2），∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）
∴数列{a_n+n}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即a_n+n=2×2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-n
（II）证明：∵4^S_n-n=（a_n+n）^b_n（n∈N^*）
∴4^S_n-n=2^nb_n，
∴2S_n-2n=nb_n，…①
∴2S_n+1-2（n+1）=（n+1）b_n+1，…②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
∴（n-1）b_n+1-nb_n+2=0    …③
∴nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0 …④
④-③得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0
∴b_n+2-2b_n+1+b_n=0
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n
∴{b_n}是等差数列．
∵b₁=2，b₂=4，∴b_n=2n
∴(1+

1

bn

)

1

2

bn=(1+

1

2n

)n＜1+

1

2

+…+

1

22n-1

=1+

2

3

(1-

1

4n

)＜

5

3

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列为等差数列，适当放缩是关键．