题目内容

已知函数 $数学公式$ 是奇函数，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求实数m和n的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．

解：（Ⅰ）∵函数 $\text{[math]}$ 是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴ $\text{[math]}$
∴n=0
∵ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴m=2
（II）函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
证明：任取 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
分析：（I）由函数是奇函数的，∴f（-x）=-f（x）恒成立，再用待定系数法求得m，n或找到m，n的关系，然全结合 $\text{[math]}$ 求解．
（II）用单调性定义证明，先在给定区间上任取两个变量，且界其大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数，当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．
点评：本题主要考查函数的奇偶性解题，一般情况下，已知奇偶性时，用待定系数法求解问题；同时还考查了用单调性定义证明函数的单调性，要注意变形要到位．