Question

设数列{a_n}满足a₁=0,a_a+1=c+1-c,n∈N*,其中c为实数。

（Ⅰ）证明：a_n∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0,1],

（Ⅱ）设0<c<,证明：a_n≥1-(3c)^n-1, n∈N*;

（Ⅲ）设0<c<,证明：．

Answer 1

解：（I）必要性: ∵,∴,又,∴,即

充分性:设,对成立,用数学归纳法证明:

当n=1时, .

假设,则且,∴

由数学归纳法知, 成立.

（Ⅱ）设，当n=1时, ，结论成立。

当n≥2时，∵∴

∵，由（I）知，∴且

∴，

∴

∴

（Ⅲ）设，当n=1时，，结论成立。

当n≥2时，由（Ⅱ）知，

∴

∴=