Question

【题目】已知椭圆C1:(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长度等于C1的短轴长.已知C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.

(1)求C1,C2的方程;

(2)求证:MA⊥MB;

(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1,S2,若,求λ的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据:的离心率为,轴被曲线截得的线段长度等于的短轴长，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得结果；（2）设，直线与抛物线联立，利用平面向量的数量积公式结合韦达定理可得，从而可得结果；(3)设

分别与抛物线方程联立求出坐标，分别与椭圆方程联立求出，结合三角形面积公式可将用表示，利用基本不等式可得结果.

(1)由题意知,=,所以a2=2b2.又2=2b,得b=1,

所以曲线C2的方程为y=x2-1,椭圆C1的方程为+y=1.

(2)证明:设直线AB:y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2).

由题意知,M(0,-1),由得x2-kx-1=0,

所以·=(x1,y1+1)·(x2,y2+1)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=-(1+k2)+k2+1=0,所以MA⊥MB.

(3)设直线MA:y=k1x-1,直线MB:y=k2x-1,

则k1k2=-1,且M(0,-1).

由解得或所以A(k1,-1).同理可得B(k2,-1),

故S1=|MA|·|MB|=··|k1|·|k2|.由解得或所以D.同理可得,E,

故S2=|MD|·|ME|=··.

故=λ==≥,

当且仅当k1=±1时等号成立,

故λ的取值范围是.