题目内容

已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x-1（x∈R），g（x）=|f（x）|．
（I）求函数g（x）的单调递减区间；
（II）若A是锐角△ABC的一个内角，且满足f（A）=
2
3
，求sin2A的值．
（Ⅰ） f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x-1=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6
)
则g(x)=|2sin(2x+
π
6
)|，∵y=|sinx|的单调递减区间为[kπ+
π
2
，kπ+π]，（k∈Z）．
∴由kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤kπ+π   得：
kπ
2
+
π
6
≤x≤
kπ
2
+
5π
12
，
则g（x）的单调递减区间为[
kπ
2
+
π
6
，
kπ
2
+
5π
12
]（k∈Z）．  
（Ⅱ）∵f（A）=
2
3
，
即：sin(2A+
π
6
)=
1
3
，
∵A∈（0，
π
2
），且sin(2A+
π
6
)＞0，
∴2A+
π
6
∈(0，π)
若2A+
π
6
∈(0，
π
2
)，则sin(2A+
π
6
)=
1
3
＜
1
2
=sin
π
6
，∴2A+
π
6
＜
π
6
，这不可能，
∴2A+
π
6
∈(
π
2
，π)，所以cos(2A+
π
6
)=-
2
2
3

∴sin2A=sin[(2A+
π
6
)-
π
6
]=sin(2A+
π
6
)cos
π
6
-cos(2A+
π
6
)sin
π
6
=
1
3
•
3
2
+
2
2
3
•
1
2
=
3
+2
2
6

即sin2A=
3
+2
2
6
．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2-
1
x
，（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是（　　）
已知函数f（x）=2+log0.5x（x＞1），则f（x）的反函数是（　　）
已知函数f（x）=2（m-1）x2-4mx+2m-1
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值．
（2013•上海）已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*
（1）若a1=0，求a2，a3，a4；
（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．
选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=2|x-2|-x+5，若函数f（x）的最小值为m
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

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