Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ₁+λ₂值，即可得到结论．
解答：解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）∴．∴a²=5．…（4分）
∴椭圆C的方程为 ．…（5分）
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y）．
又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．…（7分）
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．…（8分）∴．…（9分）
又∵．（11分）∴．…（12分）
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．