Question

已知△ABC中，角A，B，C所对应的边的边长分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，则△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

分析：把b=2sinB 代入已知等式并应用正弦定理得 a²+b²-c²=ab，由余弦定理 得cosC=

1

2

，得到C=60°，由ab=a²+b²-3≥2ab-3 求得ab最大值为3，从而求得△ABC面积

1

2

absinC 的最大值．

解答：解：由正弦定理可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得 2sin²A-2sin²C=2sinAsinB-2sin²B，
sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，∴a²+b²-c²=ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∴C=60°．
∵ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2rsinC）²=a²+b²-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），∴△ABC面积为

1

2

absinC≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
故答案为

3 3

4

．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，求出ab≤3是解题的难点．