Question

已知，函数                  

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：．

Answer 1

解：（1）∵，

，考虑分子

当，即时，在上，恒成立，此时在上单调递增；

当，即时，方程有两个解不相等的实数根：，，显然，

∵当或时，；当时，；

∴函数在上单调递减，

在和上单调递增.

（2）∵是的两个极值点，故满足方程，

即是的两个解，∴，

∵

             

而在中，

因此，要证明，

等价于证明

注意到，只需证明

即证

令，则，

当时，，函数在上单调递增；---

当时，，函数在上单调递减；

因此，从而，即，原不等式得证．