Question

3．已知f（x）=e^x，g（x）=x-m（m∈R），设h（x）=f（x）•g（x）．
（Ⅰ）求h（x）在[0，1]上的最大值．
（Ⅱ）当m=0时，试比较e^f（x-2）与g（x）的大小，并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出h（x）的导数，讨论m的范围，若m≤1，若1＜m＜2时，若m≥2时，求出函数的单调性，即可得到最大值；
（Ⅱ）当m=0时，求得g（x），对x讨论，①当x≤0时，②当x＞0时，求出单调性，结合零点存在定理和对数的运算性质，即可判断大小．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=（x-m）e^x，h′（x）=（x-m+1）e^x，
由0≤x≤1，h′（x）＞0可得0≤x≤1且x＞m-1；
若m≤1，h（x）在[0，1]递增，h（x）_max=h（1）=（1-m）e；
若1＜m＜2时，h（x）在[0，m-1）递减，在[m-1，1]递增，
h（x）_max=max{h（0），h（1）}，而h（1）-h（1）=m（1-e）+e，
当1＜m＜$\frac{e}{e-1}$时，h（x）_max=（1-m）e，
当$\frac{e}{e-1}$≤m＜2时，h（x）_max=-m；
若m≥2时，h（x）在[0，1]递减，h（x）_max=h（0）=-m．
综上可得h（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{（1-m）e，m＜\frac{e}{e-1}}\\{-m，m≥\frac{e}{e-1}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）当m=0时，e^f（x-2）=${e}^{{e}^{x-2}}$，g（x）=x，
①当x≤0时，显然有e^f（x-2）＞g（x）；
②当x＞0时，lne^f（x-2）=e^x-2，lng（x）=lnx，
设φ（x）=e^x-2-lnx，φ′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，
φ′（x）在（0，+∞）递增，而φ′（1）＜0，φ′（2）＞0，
φ′（x）在（0，+∞）有唯一的实数根x₀，
且1＜x₀＜2，e^x₀-2-=$\frac{1}{{x}_{0}}$，φ（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
φ（x）≥φ（x₀）=e^x₀-2-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2=$\frac{（{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}）^{2}}{{x}_{0}}$＞0，
即有φ（x）=e^x-2-lnx＞0，即e^x-2＞lnx，
即有e^f（x-2）＞g（x）．
综上可得，e^f（x-2）＞g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查构造函数运用导数判断单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．