Question

如图所示，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，AA₁=AB=2．
（1）求证：BC⊥平面A₁AC；
（2）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值；
（3）当三棱锥A₁-ABC的体积取到最大值时，求直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据AB是圆的直径，得到BC⊥AC，用线面垂直的性质定理得到AA₁⊥BC，最后根据线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面AA₁C；
（2）设AC=x，可得Rt△ABC的面积为S=

1

2

x

4-x2

，结合AA₁是三棱锥A₁-ABC的高，可得三棱锥A₁-ABC的体积并于x的函数关系式，利用二次函数的性质，可得三棱锥A₁-ABC的体积的最大值；
（3）由（2）可得，AC=BC=

2

，△ABC是等腰直角三角形，过点A作AH⊥A₁C，连接HB，可证出平面A₁BC⊥平面AA₁C，从而得到AH⊥平面A₁BC，所以∠ABH为直线AB与平面A₁BC所成的角．在Rt△AA₁C中，求出AH=

2 3

3

，最后在Rt△ABH中，用三角函数定义得到sin∠ABH=

3

3

，即直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值为

3

3

．

解答：解：（1）∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC，…（1分）
∵AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC，…（2分）
∵AA₁∩AC=A，AA₁?平面AA₁ C，AC?平面AA₁ C，
∴BC⊥平面AA₁C．…（4分）
（2）设AC=x，在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

=

4-x2

（0＜x＜2），…（5分）
∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁是三棱锥A₁-ABC的高
因此，三棱锥A₁-ABC的体积为
VA1-ABC=

1

3

S△ABC•AA1=

1

3

•

1

2

•AC•BC•AA1=

1

3

x

4-x2

（0＜x＜2），…（6分）
而VA1-ABC=

1

3

x

4-x2

=

1

3

x2(4-x2)

=

1

3

-(x2-2)2+4

．
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，
∴当x²=2，即x=

2

时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为

2

3

．…（8分）
（3）由（2）可得，三棱锥A₁-ABC的体积取到最大值时，AC=BC=

2

，△ABC是等腰直角三角形
过点A作AH⊥A₁C，连接HB，
∵BC⊥平面AA₁C，BC?平面A₁BC，∴平面A₁BC⊥平面AA₁C，
∵平面A₁BC∩平面AA₁C=A₁C，AH⊥A₁C，AH?平面AA₁C
∴AH⊥平面A₁BC，可得BH是AH是AB在平面内的射影
因此，∠ABH为直线AB与平面A₁BC所成的角．
∵Rt△AA₁C中，AA₁=2，AC=

2

，∴AH=

AA1•AC

A1C

=

AA1•AC

AA12+AC2

=

2 3

3

所以Rt△ABH中，sin∠ABH=

AH

AB

=

2 3 3

2

=

3

3

，即直线AB与平面A₁BC所成角的正弦值为

3

3

…（12分）

点评：本题以圆柱为载体，求锥体体积的最大值并求此时直线与平面所成角的正弦，着重考查了线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，属于中档题．