Question

已知函数f（x）=lnx
（1）若F(x)=

f(x)+a

x

(a∈R)，求F（x）的极值；
（2）若G（x）=[f（x）]²-kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的减区间，现分析函数的增减性，即可得到函数的极值．
（2）先将原问题转化为：G（x）=[f（x）]²-kx在定义域内单调递减?G'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即：

2

x

lnx-k≤0在（0，+∞）上恒成立，记H（x）=

2

x

lnx-k，（x＞0），利用导数研究函数H（x）的单调性，最后得到：为使G'（x）=H（x）≤0在（0，+∞）上恒成立必须且只需

2

e

-k≤0恒成立，列出不等式求出k的范围．

解答：解：（1）∵F'（x）=

f′(x)-f(x)-a

x2

=

1-a-lnx

x2

（x＞0）…（2分）
令F'（x）=0，得x=e^1-a
∴当x＞e^1-a时，F'（x）＜0；
当0＜x＜e^1-a时，F'（x）＞0…（4分）
∴F（x）的极大值为：F（e^1-a）=e^a-1；无极小值．…（6分）
（2）∵G（x）=[f（x）]²-kx=（lnx）²-kx，
定义域为（0，+∞），且G'（x）=

2

x

lnx-k
∴G（x）=[f（x）]²-kx在定义域内单调递减?G'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立
即：

2

x

lnx-k≤0在（0，+∞）上恒成立      …（8分）
记H（x）=

2

x

lnx-k，（x＞0）
由H'（x）=0，得x=e
∴当x∈（0，e）时，H'（x）＞0；
当x∈（e，+∞）时，H'（x）＜0
即：H（x）在（0，e）上单调递增；在（e，+∞）单调递减．…（10分）
故当x=e时，H（x）取得最大值，且最大值为H（e）=

2

e

-k
为使G'（x）=H（x）≤0在（0，+∞）上恒成立必须且只需

2

e

-k≤0恒成立
故k≥

2

e

所以k的取值范围是[

2

e

，+∞）…（12分）

点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，会根据导函数的正负得到函数的增减性进而求得函数的极值，是一道综合题．