题目内容
证明函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
解：法一：定义法
任取（-∞，+∞）两个实数x1，x2，且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x12+x1x2-x22＞0
∴f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2-x22）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
法二：导数法
∵f（x）=x3，
∴f′（x）=3x2，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立
∴函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
分析：法一：定义法，任取（-∞，+∞）两个实数x1，x2，作差后利用立方差公式进行分析，分析f（x1）与f（x2）的大小，进而根据增函数的定义可得答案．
法二：导数法根据已知中函数的解析式，求出函数导函数的解析式，进而根据在（-∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立，得到函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握定义法和导数法判断函数单调性的方法和步骤是解答的关键．
任取（-∞，+∞）两个实数x1，x2，且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x12+x1x2-x22＞0
∴f（x1）-f（x2）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2-x22）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
法二：导数法
∵f（x）=x3，
∴f′（x）=3x2，
∴在（-∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立
∴函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
分析：法一：定义法，任取（-∞，+∞）两个实数x1，x2，作差后利用立方差公式进行分析，分析f（x1）与f（x2）的大小，进而根据增函数的定义可得答案．
法二：导数法根据已知中函数的解析式，求出函数导函数的解析式，进而根据在（-∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立，得到函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上是增函数．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，熟练掌握定义法和导数法判断函数单调性的方法和步骤是解答的关键．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
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请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
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（3）函数f(x)=x+
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| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
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| 4 |
| x |
．
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