题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
是椭圆
上的点，离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）点
在椭圆上
上，若点
与点
关于原点的对称，连接
，并延长与椭圆
的另一个交点为
，连接
，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）由
得
，由点
在椭圆上得
，解方程组得
， 
，（2）根据对称性得坐标原点O到直线
距离为△
高的一半；联立直线方程
与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式可得底边边长，由面积公式可得△
面积为
，根据非负可得面积取值范围，最后考虑直线
斜率不存在的情形，确定面积最值.
试题解析：（Ⅰ）依题意， 
， 
， 
，解得
， 
，
故椭圆
的方程为
.
（Ⅱ）①当直线
的斜率不存在时，不妨取
， 
， 
，
故
；
②当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
， 
，
联立方程
化简得
，
设
， 
，则
， 
，
点
到直线
的距离
，
因为
是线段
的中点，所以点
到直线
的距离为
，
∴
，
综上，△
面积的最大值为
.
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