Question

已知函数f(x)=ax²-(a+1)x+1，
(Ⅰ)当x∈（，1）时，不等式f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)设H(x)=[f(x)+a-1]e^x，当a＞-1且a≠0时，求函数H(x)的单调区间和极值．

Answer 1

解：(Ⅰ)①当a=0时，=-x+1，在上，＞0一定成立；
②当a≠0时，，
当a＞0时，二次函数y=的图象开口向上，且与x轴有两个交点（1，0）和，
要使＞0在上恒成立，当且仅当，即；
当a＜0时，二次函数y=的图象开口向下，且与x轴有两个交点（1，0）和，
要使＞0在上恒成立，当且仅当，即；
综合可得实数a的取值范围是。
(Ⅱ)，
，
令，解得：或x=-1，
①当a＞0时，则，当x变化时，的变化情况如下表：

所以，函数H（x）在内是增函数，在内是减函数，
函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），且；
函数H（x）在处取得极小值，且；
②当时，则，当x变化时，的变化情况如下表：

所以，函数H（x）在内是减函数，在内是增函数，
函数H（x）在x=-1处取得极大值H（-1），且；
函数H（x）在处取得极小值，且。