Question

设函数f(x)=

1

2a

x2-lnx （x＞0），其中a为非零常数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，过点P(

a

，0)作函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象的切线，问这样的切线可作几条？并加以证明．
（3）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），（x＞0）解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，写出切线的方程，判断其解的个数即可；
（3）f（x）＞2在[1，2]上恒成立?f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2．通过分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出．

解答：解：（1）f'（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

．
因为x＞0，令f'（x）＞0得x＞1；令f'（x）＜0得0＜x＜1．所以函数的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（2）∵f'（x）=

1

a

x-

1

x

，设g（x）=f'（x）（x＞0），则g′(x)=

1

a

+

1

x2

．
设切点为Q（x₀，y₀），则切线的斜率为k=g′(x0)=

1

a

+

1

x02

，
切线方程为y-y0=(

1

a

+

1

x02

)(x-x0)，即y-(

1

a

x0-

1

x0

)=(

1

a

+

1

x02

)(x-x0)，
由点P(

a

，0)在切线上知-(

1

a

x0-

1

x0

)=(

1

a

+

1

x02

)(

a

-x0)，化简得

x

2 0

-2

a

x0+a=0，即x0=

a

．
所以仅可作一条切线，方程是y=

2

a

(x-

a

)．
（3）f'（x）=

1

a

x-

1

x

=

x2-a

ax

，x＞0．f（x）＞2在[1，2]上恒成立?f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2．
①当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在[1，2]上最小值为f(2)=

2

a

-ln2＜0，不符合题意，故舍去；
②当a＞0时，令f'（x）=0得x=

a

．
当0＜

a

≤1时，即0＜a≤1时，函数在[1，2]上递增，f（x）的最小值为f(1)=

1

2a

＞2；解得0＜a＜

1

4

．
当

a

≥2时，即a≥4时，函数在[1，2]上递减，f（x）的最小值为f(2)=

2

a

-ln2＞2，无解；
当1＜

a

＜2时，即1＜a＜4时，函数在[1，

a

]上递减、在[

a

，2]上递增，所以f（x）的最小值为f(

a

)=

1

2

-

1

2

lna＞2，无解．
综上，所求a的取值范围为(0，

1

4

)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论思想方法等是解题的关键．