题目内容
已知圆C：（x-1）2+（y-3）2=4，过原点O的直线l与圆C相交于A、B两点
（1）若弦AB的长为2
，求直线l的方程；
（2）求证：
•
为定值．
（1）若弦AB的长为2
| 2 |
（2）求证：
| OA |
| OB |
分析：（1）设出直线AB的方程，利用弦AB的长为2
，通过半弦长，半径，弦心距，求出直线中变量的值，可得直线l的方程；
（2）通过直线的斜率不存在与存在两种情况分别证明：
•
为定值．斜率存在时，联立直线与圆的方程，通过向量的数量积的坐标运算，求出数量积为定值即可．
| 2 |
（2）通过直线的斜率不存在与存在两种情况分别证明：
| OA |
| OB |
解答：解：（1）设直线方程y=kx，所以(
)2+(
)2=4，…（3分）
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时
•
=6…（6分）
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
消y得（1+k2）x2-（6k+2）x+6=0，…（7分）
•
=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1x2=(1+k2)x1x2，
由x1x2=
所以
•
=6
综上：
•
=6…（11分）
| |k-3| | ||
|
| 2 |
解得k=1或k=-7
所以直线方程为y=x或y=-7x…（5分）
（2）当k不存在时，直线为x=0，此时
| OA |
| OB |
当k存在时，设直线y=kx，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
|
消y得（1+k2）x2-（6k+2）x+6=0，…（7分）
| OA |
| OB |
由x1x2=
| 6 |
| 1+k2 |
所以
| OA |
| OB |
综上：
| OA |
| OB |
点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长与半径，弦心距的关系，解答直线方程时注意直线的斜率是否存在是解题的关键．
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