Question

如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x²（0＜x＜6）的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t））处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，
（Ⅰ）试用t表示出△QAP的面积g（t）；
（Ⅱ）求函数g（t）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，得到曲线在M点处的切线的斜率，由点斜式写出切线方程，代值求出P、Q点的坐标，利用三角形的面积公式得到g（t）的函数解析式；
（Ⅱ）对g（t）求导，由导函数小于0求出t的范围，结合原题给出的定义域得到函数g（t）的单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）设点M（t，t²），又f'（x）=2x，
∴过点M的切线PQ的斜率k=2t，
∴切线PQ的方程为：y-t²=2t（x-t），即y=2tx-t²，
取y=0，得x=

t

2

，取x=6，得y=12t-t²．
∴P（

t

2

，0），Q（6，12t-t²）．
∴g（t）=S_△QAP=

1

2

(6-

1

2

t)•（12t-t²）
=

t3

4

-6t2+36t，（0＜t＜6）；
（Ⅱ）由g（t）=

t3

4

-6t2+36t，（0＜t＜6）．
得：g'（t）=

3t2

4

-12t+36，令g'（t）＜0，得4＜t＜12，
考虑到0＜t＜6，∴4＜t＜6，
∴函数g（t）的单调递减区间是（4，6）．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，训练了利用导数求曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性．属中档题．