Question

13．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的两个焦点，若该椭圆与圆x²+y²=2c²有公共点，则此椭圆离心率的取值范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

Answer 1

分析 通过椭圆与圆x²+y²=2c²有公共点，可得椭圆与圆x²+y²=2c²应相交，进而可得b≤$\sqrt{2{c}^{2}}$≤a，计算即得结论．

解答 解：椭圆与圆x²+y²=2c²有公共点，
即椭圆与圆x²+y²=2c²的位置关系应为相交，
∴b≤$\sqrt{2{c}^{2}}$≤a，
即$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$≤$\sqrt{2}$c≤a，
由$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$≤$\sqrt{2}$c可知：a²≤3c²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
由$\sqrt{2}$c≤a可知：e=$\frac{c}{a}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
综上所述，$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

点评 本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．