题目内容

已知Sn=1+++…+，（n∈N*），设f （n）=S2n+1-Sn+1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式恒成立．
【答案】分析：先求函数的最小值，从而要使对于一切大于1的正整数n，不等式恒成立．所以只要＞成立即可．
解答：解：由题意，f（n）=S2n+1-Sn+1=++…+（n∈N*）
∵函数f（n）为增函数，
∴f（n）min=f（2）=
要使对于一切大于1的正整数n，不等式恒成立．
所以只要＞成立即可．
由，得m＞1且m≠2
此时设[logm（m-1）]2=t，则t＞0
于是，解得0＜t＜1
由此得0＜[logm（m-1）]2＜1
解得m＞且m≠2．
点评：本题考查利用最值法解决恒成立问题，考查不等式的求解，考查学生计算能力，关键是利用函数的单调性求函数的最小值．
练习册系列答案
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已知Sn=1+2+3+…+n，f(n)=
Sn(n+32)Sn+1
(n∈N*)，则f（n）的最大值是
 
．
已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
2n
（n＞1，n∈N*）．求证：S2n＞1+
n
2
（n≥2，n∈N*）．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），a1=2，a2=1，a3=q-3p．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使
Sn-m
Sn+1-m
＜
2m
2m+1
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．
已知Sn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，（n∈N*），设f （n）=S2n+1-Sn+1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-
11
20
[log(m-1)m]2恒成立．
（2012•江苏一模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn+1=pSn+q（p，q为常数，n∈N*），如果：a1=2，a2=1，a3=q-3p．
（1）求p，q的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）是否存在正整数m，n，使
Sn-m
Sn+1-m
＜
2m
2m+1
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

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