Question

19．设函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），则f²（x）是（　　）

• A． 奇函数，且在（0，1）上是增函数
• B． 奇函数，且在（0，1）上是减函数
• C． 偶函数，且在（0，1）上是增函数
• D． 偶函数，且在（0，1）上是减函数

Answer 1

分析 求出函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义和函数单调性的性质进行判断．

解答 解：要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞-1}\end{array}\right.$，即-1＜x＜1，则定义域为（-1，1），
则f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-[ln（1+x）-ln（1-x）]=-f（x），
则f（x）为奇函数，
则f²（-x）=[-f（x）]²=f²（x），则f²（x）是偶函数，
则（0，1）上f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）为增函数，
且f（0）=0，即当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
则f²（x）在（0，1）上是增函数，
故选：C

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性的定义以及函数单调性的性质是解决本题的关键．