Question

【题目】已知椭圆C1： 的离心率为 ，且经过点M 的直径C1的长轴．如图，C是椭圆短轴端点，动直线AB过点C且与圆C2交于A，B两点，CD垂直于AB交椭圆于点D．

（1）求椭圆C1的方程；
（2）求△ABD面积的最大值，并求此时直线AB的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C1： 的离心率为 ，

∴ ，∴a=2k，b=k，k＞0，

∴ ，

∵椭圆C1经过点M ， ），

∴ ，解得k2=1，

∴椭圆C1的方程为 ．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），

由题意知直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y=kx+1，

又圆C2：x2+y2=4，

∴点O到直线l1的距离d= ，

∴|AB|=2 =2 ，

又∵l1⊥l2，∴直线l2的方程为x+ky﹣k=0．

由 ，消去y，得：

（4+k2）x2+8kx=0，

∴ ，

∴|CD|= ，

设△ABD的面积为S，则S= = ，

∴S=

≤ = ，

当且仅当k= 时取等号，

∴所求的直线l1的方程为 ．

【解析】（1）由已知条件得 ，所以设椭圆方程为 ，再由椭圆C1经过点M ， ），能求出椭圆C1的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），D（x0 ， y0），设直线l1的方程为y=kx+1，又圆C2：x2+y2=4，求出点O到直线l1的距离和|AB|，求出直线l2的方程为x+ky﹣k=0．由此能求出直线l1的方程．