Question

课本在介绍“i²=-1的几何意义”中讲到：将复平面上的向量乘以i就是沿逆时针方向旋转90°，那么乘以-i就是沿顺时针方向旋转90°，做以下填空：
①已知复平面上的向量

OM

、

ON

分别对应复数3-i、-2+i，则向量

MN

对应的复数为

 

；
②那么，以线段MN为一边作两个正方形MNQP和MNQ，P，则点P、Q对应的复数分别为

 

、

 

；
③点P、Q，对应的复数分别为

 

、

 

．

Answer 1

分析：求出向量

MN

对应的复数，设点P（a，b），Q（s，r），①当

MP

 可以看成把

MN

顺时针旋转90°得到的时，

MP

 对应的复数为（-5+2i）（-i）=2+5i，可得 a-3=2，b+1=5，解得a、b的值，即得点P对应的复数．根据
 

NQ

 对应的复数和

MP

 对应的复数相等，求得Q对应的复数．
②当

MP

 可以看成把

MN

逆时针旋转90°得到的时，同理可求．

解答：解：向量

MN

对应的复数为 （-2+i）-（3-i）=-5+2i，设点P（a，b），Q（s，r），
则

MP

 可以看成把

MN

逆时针旋转90°，或把

MN

顺时针旋转90°得到的，
①当

MP

 可以看成把

MN

顺时针旋转90°得到的时，

MP

 对应的复数为（-5+2i）（-i）=2+5i，
∴a-3=2，b+1=5，∴a=5，b=4，∴P（5，4）．
由正方形的性质可得

NQ

 对应的复数和

MP

 对应的复数相等，为2+5i，∴s+2=2，r-1=5，
∴s=0，r=6，∴Q（0，6），故点P，Q，对应的复数分别为：5+4i 和  6i．
②当

MP

 可以看成把

MN

逆时针旋转90°得到的时，

MP

 对应的复数为（-5+2i）i=-2-5i，
∴a-3=-2，b+1=-5，∴a=1，b=-6，∴P（1，-6）．
由正方形的性质可得

NQ

 对应的复数和

MP

 对应的复数相等，为-2-5i，∴s+2=-2，r-1=-5，
∴s=-4，r=-4，∴Q（-4，-4），故点P，Q，对应的复数分别为：1-6i 和-4-4i．
故答案：①-5+2i；②5+4i；  6i；③1-6i；-4-4i．

点评：本题考查复数的基本概念，复数与复平面内对应点之间的关系，两个复数代数形式的乘法，体现了分类讨论的数学思想，求出

MP

 对应的复数，是解题的难点．