Question

已知椭圆两个焦点F₁，F₂的坐标分别为（-2，0），（2，0），并且经过点（2，

5

3

）过左焦点F₁，斜率为k₁，（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点．设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若点A（2，

5

3

），求C点的坐标；
（Ⅲ）设直线CD的斜率为k₂，求证：

k1

k2

为定值．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆的方程，利用椭圆的定义，即可得到椭圆的标准方程；
（II）确定直线AB的方程，代入椭圆方程，即可求得C是坐标；
（III）确定AR的方程，代入椭圆方程，进而确定C的坐标，同理可得D的坐标，由此化简，即可得到结论．

解答：（I）解：∵椭圆两个焦点F₁，F₂的坐标分别为（-2，0），（2，0），
∴椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴2a=

42+( 5 2

)2+

( 5 3 )2

=6，
∴a=3，b²=a²-c²=5，
∴椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）解：直线AB的方程为y=

5

3

(x-1)，代入椭圆方程，可得3x²-5x-2=0
解得x=2（舍去）或x=-

1

3

代入直线AB的方程，得y=-

20

9

∴C的坐标为（-

1

3

，-

20

9

）；
（III）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
直线AR的方程为y=

y1

x1-1

（x-1），即x=

x1-1

y1

y+1．
代入椭圆方程，可得消去x并整理，得

5-x1

y12

y²+

x1-1

y1

y-4=0
∴y₁y₃=-

4y12

5-x1

，∵y₁≠0，∴y₃=

4y1

x1-5

，
代入AR的方程，可得x₃=

5x1-9

x1-5

，∴C（

5x1-9

x1-5

，

4y1

x1-5

），
同理D（

5x2-9

x2-5

，

4y2

x2-5

）
∴k₂=

4y1 x1-5 - 4y2 x2-5

5x1-9 x1-5 - 5x2-9 x2-5

=

4y1(x2-5)-4y2 (x1-5)

16(x2-x1)

∵A，F₁，B三点共线，∴

y1

x1+2

=

y2

x2+2

∴y₁x₂-y₂x₁=2（y₂-y₁）
∴k₂=

7

4

•

y2-y1

x2-x1

∵k1=

y2-y1

x2-x1

∴

k1

k2

为定值

4

7

．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．