Question

已知函数f（x）=2asin²x-2

3

asinxcosx+a+b（a＜0）的定义域是[0，

π

2

]，值域为[-5，1]，则a、b的值分别为（　　）

A．a=2，b=-5

B．a=-2，b=2

C．a=-2，b=1

D．a=1，b=-2

Answer 1

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2a+b-2asin（2x+

π

6

），再由x∈[0，π]，结合正弦函数的定义域和值域求得a、b的值．

解答：解：函数f（x）=2asin²x-2

3

asinxcosx+a+b=2a+b-a（cos2x+

3

sin2x）=2a+b-2asin（2x+

π

6

）．
由于x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1．
再由-5≤f（x）≤1，a＜0，可得

3a+b=-5 -2a+2a+b =1

，解得

a=-2 b=1

．
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．