题目内容
（2009•黄冈模拟）已知函数f（x）=sin2x+2sinxsin(
-x) +3sin2(
-x)
（Ⅰ）若tan2x=
，求f（x）的值；
（Ⅱ）若x∈[0，
]，求f（x）的最值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（Ⅰ）若tan2x=
| 4 |
| 3 |
（Ⅱ）若x∈[0，
| π |
| 2 |
分析：（Ⅰ）利用诱导公式以及二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过tan2x=
，求出sin2x与cos2x的值，即可求出f（x）的值；
（Ⅱ）若x∈[0，
]，通过（Ⅰ）求出2x+
的范围，然后求f（x）的最值．
| 4 |
| 3 |
（Ⅱ）若x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x+2sinxsin(
-x) +3sin2(
-x)
=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+2cos2x
=2+sin2x+cos2x=2+
sin(2x+
)
∵tan2x=
，所以sin2x=
，cos2x=
或sin2x=-
，cos2x=-
∴f（x）=
或
（Ⅱ）∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，2+
sin(2x+
)∈[1，2+
]
所以f（x）的最大值为2+
，最小值为1．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+2cos2x
=2+sin2x+cos2x=2+
| 2 |
| π |
| 4 |
∵tan2x=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴f（x）=
| 17 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（Ⅱ）∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
所以f（x）的最大值为2+
| 2 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，注意诱导公式同角三角函数以及浪两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．
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