Question

一同学为研究函数f（x）=+（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC点P是边BC上的一动点，设CP=x，则AP+PF=f（x），请你参考这些信息，推知函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为＜，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1＞．g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=的解的个数，而由题意可得 f（x）=的解有2个，从而得出结论．
解答：解：由题意可得 函数f（x）=+=AP+PF，当A、P、F共线 时，f（x）取得最小值为＜，当P与B或C重合时，f（x）取得最大值为+1＞．
g（x）=4f（x）-9=0，即 f（x）=．故函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数就是f（x）=的解的个数．
而由题意可得 f（x）=的解有2个，
故答案为 2．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．