题目内容

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，向量 $数学公式$ =（2a+c，b）， $数学公式$ =（cosB，cosC），且 $数学公式$ ， $数学公式$ 垂直．
（ I）确定角B的大小；
（ II）若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD=1，设BC=x，BA=y，试确定y关于x的函数式，并求边AC长的取值范围．

解：（ I）∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
在△ABC中，由正弦定理得： $\text{[math]}$ ，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入得
k[（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC]=0，∴2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0．
∵A，B∈（0，π），∴sinA≠0，
∴ $\text{[math]}$ ，解得B= $\text{[math]}$ ．
（ II）∵S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴xy=x+y，
∴ $\text{[math]}$ ．
在△ABC中，由余弦定理得：
$\text{[math]}$ =x²+y²+xy=（x+y）²-xy=（x+y）²-（x+y）= $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，x＞0，y＞0，∴x+y≥4，
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
∴AC的取值范围是： $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ） $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ，对此式进行化简得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；
（Ⅱ）先由三角形的面积之间的关系S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，对x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范围，进而可求出AC²的取值范围．
点评：理解数量积与向量垂直的关系，正确使用正、余弦定理及三角形的面积公式，基本不等式的性质是解决问题的关键．