Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足acosB+bcosA=2ccosC
（1）求角C的值；
（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．
（2）根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值．

解答：解：（1）由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=

1

2

，所以C=

π

3

（2）cosC =

1

2

=

a2+b2-4

2ab

，
所以ab=a²+b²-4≥2ab-4，即ab≤4，等号当a=b时成立
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

4

2

-

3

2

=

3

，

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．综合考查了学生的基础知识的掌握．