Question

已知圆C：的半径等于椭圆E：（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y＝x－的距离为－，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x₁，y₁），（x₂，y₂）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求证：｜AF｜－｜BF｜＝｜BM｜－｜AM｜．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）结合直线与圆的位置关系，以及椭圆的第二定义的运用来证明。

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）设点，则到直线的距离为

，即，                 （2分）

因为在圆内，所以，故；                 （4分）

因为圆的半径等于椭圆的短半轴长，所以，

椭圆方程为.                         （6分）

（Ⅱ）因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，是切点，故

为直角三角形，所以，

又，可得，                    （7分）

，又，可得，        （9分）

所以，同理可得，            （11分）

所以，即.      （12分）

考点：椭圆的方程以及定义

点评：主要是考查了椭圆的方程的求解以及焦半径公式的运用，属于中档题。