Question

函数f(x)=

sinπx+cosπx+|sinπx-cosπx|

2

对任意的x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₂-x₁|的最小值为（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．2
• D．4

Answer 1

分析：先将函数写出分段函数，再确定|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．

解答：解：由题意可得，f（x）=

sinπx，  sinπx≥cosπx cosπx，  cosπx＞sinπx

，f（x₁）为函数的最小值，
f（x₂）为函数的最大值．
|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．
由于x=

1

2

 时，函数取得最大值2，x=

5

4

 时，sinπx=cosπx=-

2

2

，函数取得最小值，
∴|x₂-x₁|的最小值为

5

4

-

1

2

=

3

4

，
故选A．

点评：本题考查绝对值函数，考查三角函数的性质，确定|x₂-x₁|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．