Question

已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0，5)，且f(x)在区间[-1，4]上的最大值是12，
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)是否存在自然数m，使得方程f(x)+=0在区间(m，m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，
∴可设f(x)=ax(x-5)(a＞0)，
∴f(x)在区间[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a，
由已知，得6a=12，∴a=2，
∴f(x)=2x(x-5)=2x²-10x(x∈R)。
(Ⅱ)方程等价于方程2x³-10x²+37=0，
设h(x)=2x³-10x²+37，
则h′(x)=6x²-20x=2x(3x-10)，
当时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；
当时，h′(x)＞0，h(x)是增函数；
∵h(3)=1＞0，，h(4)=5＞0，
∴方程h(x)=0在区间内分别有唯一实数根，而在区间(0，3)，(4，+∞)内没有实数根，
所以存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+在区间(m，m+1)内有且只有两个不等的实数根。