题目内容
已知f(x)=-
x2+x+1,xn+1=f(xn),n∈N*,且1＜x1＜2.(1)当n≥2时,求证:1＜xn＜
；
(2)试确定一个正整数N(N≥2),使得当n＞N时,都有|xn-
|＜
.
(1)证明:f(x)=-x2+x+1,xn+1=f(xn),??
∴xn+1=-xn2+xn+1=-(xn-1)2+.?
当n=2时,x2=-
(x1-1)2+
,?
∴1＜x2＜
.?
∴当n=2时，不等式成立. ?
假设n=k(k≥2)时不等式成立，即1＜xk＜
.?
∵xk+1=-
(xk-1)2+
,?
∵f(x)=-
(x-1)2+
在［1，+∞)上是减函数,
∴f(2)＜f(
)＜xk+1＜f(1).?
∴1＜xk+1＜
.?
∴当n=k+1时不等式也成立.?
综上，对于任意n≥2都有1＜xn＜
成立. ?
(2)解:∵xn+1-2=(xn-2)［1-
(xn+
)］,?
∴|xn+1-
|=|xn-
|·|1-
|.?
∵1＜xn＜
(n≥2),?
∴|xn-
|＜
|xn-1-
|＜
|xn-2-
|＜…＜
|x2-
|＜
·
=
. ?
∵
=
,∴|x6-
|＜
,?
即存在N=5，当n＞5时，都有|xn-2|＜
.
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