Question

【题目】已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前n项和．若，，是数列的前3项，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列为等差数列，求实数t；

（3）构造数列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若该数列前n项和，求n的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或；（3）41.

【解析】

（1）设的公差，由，，是数列的前3项，可得即，又即，解得，，即可得出通项公式；

（2），可得，根据数列为等差数列，可得，据此化简求解可得值；

（3）设从到各项的和为，

则，进而可得，由，得，进而可得该数列前36项的和，令，解方程可得的值，进而得到的值.

（1）设的公差，，，是数列的前3项，且，

，即，，

解得，，

，

，，公比，

；

（2），

，

数列为等差数列，且，

该数列的前三项满足式子：，即，

解得或，经过验证满足题意；

（3）由（1）可得：，数列的前n项和，

数列的前n项和，

设从到各项的和为，

，

，

，

，，

取，可得该数列前项的和为，

令，解得，

因此，

即n的值为41.