Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A₁．

（１）求证：A₁D⊥EF；

（２）求三棱锥A₁-DEF的体积.

Answer 1

（1）证明：由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°,

则A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E，且A₁E∩A₁F＝A₁，

所以A₁D⊥平面A₁EF.

又EF平面A₁EF，所以A₁D⊥EF．

（2）解：由A₁F=A₁E=，EF=及勾股定理，得

A₁E⊥A₁F,所以,

所以.