Question

已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积；

(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

(I) .

(II)当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 

【解析】

试题分析：

思路分析：(I)根据四边形OABC为菱形, AC与OB相互垂直平分. 注意确定.

(II)假设四边形OABC为菱形.  因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.

由消去应用韦达定理确定AC的中点为M(,).

得到直线OB的斜率为. 因为,所以AC与OB不垂直.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 

解：(I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即.  所以菱形OABC的面积是.

(II)假设四边形OABC为菱形.  因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.

由消去并整理得.

设A,C,则,.

所以AC的中点为M(,).

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.

因为,所以AC与OB不垂直.  所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 

考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，菱形的性质。

点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。