题目内容
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若点M的横坐标为
,直线l:y=kx+
与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当
≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.
（1）x2=2y （2）存在点M(
,1) （3）
【解析】
解:(1)依题意知F
,圆心Q在线段OF的垂直平分线y=
上,
因为抛物线C的准线方程为y=-
,
所以
=
,
即p=1.
因此抛物线C的方程为x2=2y.
(2)假设存在点M
(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′
=
=x0,
所以直线MQ的方程为y-
=x0(x-x0).
令y=
得xQ=
+
.
所以Q（
+,）.
又|QM|=|OQ|,
故（
-）2+（-
）2=（
+）2+
,
因此（-）2=
.
又x0>0,
所以x0=,此时M(,1).
故存在点M(,1),
使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
(3)当x0=时,由(2)得Q（
,）,
☉Q的半径为r=
=
,
所以☉Q的方程为（x-）2+（y-）2=
.
由
整理得2x2-4kx-1=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由于Δ1=16k2+8>0,x1+x2=2k,x1x2=-
,
所以|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)(4k2+2).
由
整理得(1+k2)x2-
x-
=0.
设D,E两点的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),
由于Δ2=
+
>0,x3+x4=
,
x3x4=-
.
所以|DE|2=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]
=
+.
因此|AB|2+|DE|2=(1+k2)(4k2+2)+ 
+.
令1+k2=t,
由于≤k≤2,
则
≤t≤5,
所以|AB|2+|DE|2=t(4t-2)+
+
=4t2-2t+
+,
设g(t)=4t2-2t+
+,t∈
,
因为g′(t)=8t-2-
,
所以当t∈
时,g′(t)≥g′
=6,
即函数g(t)在t∈
上是增函数,
所以当t=时,g(t)取到最小值
,
因此,当k=时,|AB|2+|DE|2取到最小值.
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是