Question

18．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）若直线y=kx与曲线f（x）=$\frac{lnx}{x}$相切，求实数k的值；
（2）若e＜a＜b，比较a^b与b^a的大小．

Answer 1

分析 （1）设出切点坐标P（a，$\frac{lna}{a}$），求出导函数y′，利用导数的几何意义即k=y′|_x=a，再根据切点在切线上，列出关于a和k的方程组，求解即可求得k的值．
（2）由函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用函数f（x）的单调性和对数的运算性质即可得到结论．

解答 解：（1）设切点坐标为P（a，$\frac{lna}{a}$），
∵曲线y=$\frac{lnx}{x}$，
∴y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴k=y′|_x=a=$\frac{1-lna}{{a}^{2}}$，①
又∵切点P（a，$\frac{lna}{a}$）在切线y=kx上，
∴$\frac{lna}{a}$=ka，②
由①②，解得a=$\sqrt{e}$，k=$\frac{1}{2e}$，
∴实数k的值为$\frac{1}{2e}$．
（2）由函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x＞e时，f′（x）＜0，
即函数f（x）在x＞e时是减函数，
∵e＜a＜b，
∴$\frac{lna}{a}＞\frac{lnb}{b}$，即blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，
则a^b＞b^a．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上；本题还考查了指数幂的大小比较，根据已知条件，利用函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强有一定的难度，属于中档题．