Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），等差数列{b_n}中，b₁=1，b₃=5．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等比数列，从而可得数列{a_n}的通项公式，利用等差数列{b_n}中，b₁=1，b₃=5，可得数列{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2，∴n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减可得a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∵S₁=2a₁-2，∴a₁=2，
∴数列{a_n}是等比数列
∴a_n=2ⁿ；
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=1，b₃=5．
∴由b₃=b₁+2d得到d=2，∴b_n=2n-1；
（2）∵cn=(2n-1)2n，∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1
∴-Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)-(2n-1)2n+1
即：-Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+1
∴Tn=(2n-3)2n+1+6．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．