题目内容

函数y=x³+x的单调增区间为

A.
(-∞,+∞)
B.
(0,+∞)
C.
(-∞,0)
D.
不存在

A
解析：
∵y′=3x²+1>0恒成立，∴y=x³+x在(-∞,+∞)上为增函数，没有减区间.选A

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函数f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2
（1）如果函数g（x）单调减区间为（-

，1），求函数g（x）解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；
（3）若?x₀∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．

对于定义域为D的函数f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内有单调性；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则称f（x）为D上的“和谐”函数，[a，b]为函数f（x）的“和谐”区间．
（Ⅰ）求“和谐”函数y=x³符合条件的“和谐”区间；
（Ⅱ）判断函数f(x)=x+

(x＞0)是否为“和谐”函数？并说明理由．
（Ⅲ）若函数g(x)=

+m是“和谐”函数，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=

mx(m＞0)，
(Ⅰ)当m=2时，求函数y=f(x)的图象在点(0，0)处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性；
(Ⅲ)若函数f(x)既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f(x)＜mx²+

恒成立，求m的取值范围。

已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数y=f(x)的图象在点（2，f(2)）处的切线的倾斜角为45°，对任意的t∈[1，2]，若函数g(x)=x³+x²[f′(x)+

]在区间(t，3)上有最值，求实数m取值范围；
(3)求证：

“我们称使f(x)=0的x为函数y=f(x)的零点.若函数y=f(x)在区间［a,b］上是连续的、单调的函数，且满足f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间［a,b］上有唯一的零点”.对于函数f(x)=-x³+x²+x+m.

（1）当m=0时,讨论函数f(x)=-x³+x²+x+m在定义域内的单调性并求出极值；

（2）若函数f(x)=-x³+x²+x+m有三个零点，求实数m的取值范围.