Question

已知函数f （x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a₁=f（d-1），a₃=f （d+1），b₁=f （q-1），b₃=f （q+1），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，
①求证：对任意的n≥2，（n∈N^*）时  

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1
②设数列{c_n}对任意的自然数n均有

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=Sn+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c_n的值．

Answer 1

分析：（1）用d表示出a₁，a₃，由a₃-a₁=2d可得关于d的方程，解出d可得a_n，用q表示出b₁，b₃，由

b3

b1

=q2可得q的方程，解出q可得b_n；
（2）①由（1）可得S_n，利用裂项相消法可求得

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

，由结果可作出证明；②由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=S_n+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=S_n（n≥2），两式相减可求得c_n，注意验证n=1也适合，利用错位相减法可求得c₁+c₂+c₃+…+c_n的值．

解答：解：（1）a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a₃-a₁=2d，即d²-（d-2）²=2d，解得d=2，
∴a₁=0，a_n=2（n-1），
又b₁=f（q-1）=（q-2）²，b₃=f （q+1）=q²，

b3

b1

=q2，
∴

q2

(q-2)2

=q2，
∵q≠1，∴b1=1，bn=3n-1；
（2）①证明：∵S_n=n（n-1），
∴

1

Sn

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2），
则

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＜1；
②由

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn

bn

=S_n+1，得

c1

b1

+

c2

b2

+

c3

b3

+…+

cn-1

bn-1

=S_n（n≥2），
两式相减得

cn

bn

=S_n+1-S_n=a_n+1=2n，n=1也符合，
∴c_n=2n•b_n=2n•3^n-1=

2

3

n•3n，
令Tn=1•31+2•32+…+n•3n，
利用错位相减法可得Tn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=

2

3

Tn=(n-

1

2

)•3n+

1

2

．

点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和、数列与不等式的综合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，对能力要求较高．