题目内容
定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x，y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(
).(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)若当x∈(-1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.
思路分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y是解题关键；(2)定义法证明，其中判定的范围是关键.
证明：(1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，
由f(x)+f(y)=f(
)，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(
)，∴f(0)=0.
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(
)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0＜x1＜x2＜1,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(
)=f(
).
∵0＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,1-x1x2＞0.
∴
＞0.
又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)＜0，
∴0＜x2-x1＜1-x1x2.
∴-1＜
＜0.由题意知f(
)＞0，
∴f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在(0，1)上为减函数.
又f(x)为奇函数，
∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.
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