Question

△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若函数f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+sinx(x∈[0，

π

2

])，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式的右边，再根据余弦定理表示出cosA，将化简得到的关系式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）将A的度数代入f（x）解析式中，前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sinx的二次函数，根据x的范围，利用正弦函数的图象与性质得到sinx的范围，利用二次函数的性质即可得到函数f（x）的值域，即为f（x）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

，得

a-c

b-c

=

b

a+c

，
即a²=b²+c²-bc，即bc=b²+c²-a²，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
又根据余弦定理得到cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

；…（6分）
（Ⅱ）f（x）=cos²（x+A）-sin²（x-A）+sinx
=cos²（x+

π

3

）-sin²（x-

π

3

）+sinx
=

1+cos(2x+ 2π 3 )

2

-

1-cos(2x+ 2π 3 )

2

+sinx
=sin²x+sinx-

1

2

=（sinx+

1

2

）²-

3

4

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴sinx∈[0，1]，
则根据二次函数性质得到函数f（x）的取值范围[-

1

2

，

3

2

]．…（13分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．