Question

设关于x的方程2x²－ax－2=0的两根为α、β（α＜β），函数．

  （Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；

（Ⅱ）证明f (x)是[α，β]上的增函数；

（Ⅲ）当a为何值时，f (x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝，α·β＝－1，∴α2＋β2＝，         ∴f (α)·f (β)＝ ． （Ⅱ）证明：当α≤x≤β时，            ∵α、β是方程2x2－ax－2=0的两根，         ∴当α≤x≤β时，恒有2x2－ax－2≤0，         ∴≥0，又不是常函数，         ∴是[α，β]上的增函数． （Ⅲ）f (x)在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0， 又∵| f (α)·f (β) |＝4，  ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥ 当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2          ∴     由（1）、（2）得 ，∴a＝0为所求．