Question

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-l；数列{b_n}满足b_n-1-b_n=b_nb_n-1（n≥2，n∈N^*）b₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

an

bn

}的前n项和T．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

即可得出a_n，由b_n-1-b_n=b_nb_n-1，两边同除以b_nb_n-1得

1

bn

-

1

bn-1

=1，进而利用得出数列的通项公式即可得出．．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

an

bn

=n•2n-1，再利用“错位相减法”即可得出T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴an=1×2n-1=2n-1(n∈N*)．
由b_n-1-b_n=b_nb_n-1，得

1

bn

-

1

bn-1

=1．
又b₁=1，所以数列{

1

bn

}是首项为

1

b1

=

1

1

=1，公差为1的等差数列．
∴

1

bn

=1+(n-1)×1=n．
∴bn=

1

n

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

an

bn

=n•2n-1，
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n•2^n-1，
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，．
两式相减，得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=

1×(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴Tn=(n-1)•2n+1．

点评：数列掌握公式an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

、由b_n-1-b_n=b_nb_n-1，两边同除以b_nb_n-1转化为等差数列问题、“错位相减法”是解题的关键．