Question

如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（1）求证：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试指出点G的位置，并求直线AG与平面ACD所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以O为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以OC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，利用向量共线的坐标表示求证OF∥AC，从而说明线面平行；
（2）根据，∠DAB=60°求出D点坐标，然后求出平面ACD的一个法向量，找出平面ADB的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假设在上存在点G，使得FG∥平面ACD，根据（1）中的结论，利用两面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，
从而得到OG∥AD，利用共线向量基本定理得到G的坐标（含有参数），然后由向量的模等于圆的半径求出G点坐标，最后利用向量与平面ACD的法向量所成角的关系求直线AG与平面ACD所成角的正弦值．
解答：（1）证明：如图，因为∠CAB=45°，连结OC，则OC⊥AB．
以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-2，0），C（0，0，2）．

，
∵点F为的中点，∴点F的坐标为，
．∴，即OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴点D的坐标，．
设二面角C-AD-B的大小为θ，为平面ACD的一个法向量．
由有即
取x=1，解得，．∴=． 
取平面ADB的一个法向量=（0，0，1），
∴．
（3）设在上存在点G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD．
设，∵，∴．
又∵，∴，解得λ=±1（舍去-1）．∴，则G为的中点．
因此，在上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为的中点．
设直线AG与平面ACD所成角为α，∵，
根据（2）的计算为平面ACD的一个法向量，
∴．
因此，直线AG与平面ACD所成角的正弦值为．
点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力，此题是中档题．