题目内容

已知函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）在点x=1处取得极值．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明不等式 $数学公式$ ．

解：（1）由题可得f'（x）=-3x²-4mx-m²
则f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x³+2x²-x+2，则f'（x）=-3x²+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为 $\text{[math]}$ ，减区间为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$
（3）因f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），x∈[0，1]
所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ]
又1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²）
所以 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ 时取”=”）
分析：（1）由题可得f'（x）=-3x²-4mx-m²则f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x²+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为 $\text{[math]}$ ，减区间为 $\text{[math]}$ ，进而得到函数的最值 $\text{[math]}$ ．
（3）由（2）得 $\text{[math]}$ 即整理得 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$
点评：本题考查利用导数研究函数的极值与最值，还考查了利用函数的最值证明不等式恒成立的知识点，导数与不等式相结合是高考考查的热点，多以解答题的形式出现属于中档题．