Question

已知椭圆C₁：

x2

4

+

y2

3

=1，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（1）当AB⊥x轴时，求p，m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（2）若p=

4

3

且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，由此能够判断出C₂的焦点坐标不在直线AB上．
（2）解法一：当C₂的焦点在AB时，设直线AB的方程为y=k（x-1）．由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．由AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，所以x1+x2+

4

3

=4-

1

2

(x1+x2)．由此入手能够求出直线AB的方程．
解法二：当C₂的焦点在AB时，设直线AB的方程y=k（x-1）．由

(y-m)2= 8 3 x y=k(x-1)

得(kx-k-m)2=

8

3

x．因为C₂的焦点F′(

2

3

，m)在直线y=k（x-1）上，所以m=-

1

3

k．k2x2-

4

3

(k2+2)x+

4k2

9

=0．由此入手能够求出直线AB的方程．
解法三：设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又是过C₂的焦点F′(

2

3

，m)，所以x1+x2=

2

3

(4-p)=

16

9

．由此入手能够求出直线AB的方程．

解答：解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，

3

2

）或（1，-

3

2

）．
因为点A在抛物线上，所以

9

4

=2p，即p=

9

8

．
此时C₂的焦点坐标为（

9

16

，0），该焦点不在直线AB上．（6分）
（2）解法一　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．
因为AB既是过C₁的右焦点的弦，又是过C₂的焦点的弦，
所以|AB|=(2-

1

2

x1)+(2-

1

2

x2)=4-

1

2

(x1+x2)，且|AB|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=x1+x2+

4

3

．
从而x1+x2+

4

3

=4-

1

2

(x1+x2)．
所以x1+x 2=

16

9

，即

8k2

3+4k2

=

16

9

．解得k2=6，即k=±

6

．…（12分）
因为C₂的焦点F′(

2

3

，m)在直线y=k（x-1）上，所以m=-

1

3

k．即m=

6

3

或m=-

6

3

．
当m=

6

3

时，直线AB的方程为y=-

6

(x-1)；
当m=-

6

3

时，直线AB的方程为y=

6

(x-1)．…（15分）
解法二　当C₂的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为y=k（x-1）．
由

(y-m)2= 8 3 x y=k(x-1)

消去y得(kx-k-m)2=

8

3

x．…①
因为C₂的焦点F′(

2

3

，m)在直线y=k（x-1）上，
所以m=k(

2

3

-1)，即m=-

1

3

k．
代入①有(kx-

2k

3

)2=

8

3

x．即k2x2-

4

3

(k2+2)x+

4k2

9

=0．…②
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程②的两根，
x₁+x₂=

4(k2+2)

3k2

．
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…③
由于x₁，x₂也是方程③的两根，所以x₁+x₂=

8k2

3+4k2

．
从而

4(k2+2)

3k2

=

8k2

3+4k2

．解得k2=6，即k=±

6

．…．（12分）
因为C₂的焦点F′(

2

3

，m)在直线y=k（x-1）上，
所以m=-

1

3

k．
即m=

6

3

或m=-

6

3

．
当m=

6

3

时，直线AB的方程为y=-

6

(x-1)；
当m=-

6

3

时，直线AB的方程为y=

6

(x-1)．…．（15分）
解法三　设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
因为AB既过C₁的右焦点F（1，0），又是过C₂的焦点F′(

2

3

，m)，
所以|AB|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=(2-

1

2

x1)+(2-

1

2

x2)．
即x1+x2=

2

3

(4-p)=

16

9

．…①
由（Ⅰ）知x₁≠x₂，
于是直线AB的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

m-0

2 3 -1

=3m，…②
且直线AB的方程是y=-3m（x-1），
所以y1+y2=-3m(x1+x2-2)=

2m

3

．…③
又因为

3 x 2 1 +4 y 2 1 =12 3 x 2 2 +4 y 2 2 =12

，
所以3(x1+x2)+4(y1+y2)•

y2-y1

x2-x1

=0．…④
将①、②、③代入④得m2=

2

3

，
即m=

6

3

或m=-

6

3

．…．（12分）
当m=

6

3

时，直线AB的方程为y=-

6

(x-1)；
当m=-

6

3

时，直线AB的方程为y=

6

(x-1)．…．（15分）

点评：本昰考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．