Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，且b≠0，函数g(x)=

1

3

bx3-bx，若对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间．
（2）分别表示出函数f（x）、g（x）的值域，根据f（x）的值域应为g（x）的值域的子集可得答案．

解答：解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a＞0时，∵f'（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

∵f′(x)＞0，则1-ax＞0，ax＜1，x＜

1

a

f′(x)＜0，则1-ax＜0，ax＞1，x＞

1

a

即当a＞0时f(x)在(0，

1

a

)上是增函数，在(

1

a

，+∞)上是减函数．
（2）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），
使f（x₁）=g（x₂），得A⊆B
由（1）知a=1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x∈（1，2）上单调递减，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B=(

2

3

b，-

2

3

b)
为满足A⊆B，又-

2

3

b≥0＞-1
∴

2

3

b≤ln2-2.即b≤

3

2

ln2-3.
（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B=(-

2

3

b，

2

3

b)
为满足A⊆B，又

2

3

b≥0＞-1.
∴-

2

3

b≤ln2-2
∴b≥-

3

2

(ln2-2)=3-

3

2

ln2，
综上可知b的取值范围是(-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞)

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．