Question

已知函数f(x)=

x

x-1

．
（1）求f（f（3））的值；
（2）判断函数在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．
（3）当x取什么值时，f(x)=

x

x-1

的图象在x轴上方？

Answer 1

分析：（1）运用函数解析式，代入计算，即可求得结论；
（2）函数在（1，+∞）上单调递减，再运用定义法进行证明；
（3）转化为具体不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，f（3）=

3

2

，∴f(f(3))=f(

3

2

)=3…（2分）
（2）函数在（1，+∞）上单调递减…（3分）
证明：设x₁，x₂是（1，+∞）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则△x=x₁-x₂＜0△y=f(x1)-f(x2)=1+

1

x1-1

-1-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

…（6分）
由x₁，x₂∈（1，+∞），得（x₁-1）（x₂-1）＞0，且x₂-x₁=△x＞0
于是△y＞0
所以，f(x)=

x

x-1

在（1，+∞）上是减函数…（8分）
（3）f(x)=

x

x-1

＞0得x＞1或x＜0…（10分）

点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．